木原 貴行

▼ 主な研究分野

私の研究領域は，いわゆる数学基礎論，数理論理学と呼ばれる分野に属します．その中でも特に，計算可能性理論（再帰理論）の全ての領域，証明論の一部，集合論の一部，組合せ論の一部を研究しています．もう少し詳細な区分として，私が研究業績を挙げたことのある（=論文を査読付き国際誌に出版したことのある）研究領域のうちの一部を以下にリストします．

• 計算可能解析学・計算可能位相空間論
  計算理論というと離散的なイメージが強いと思いますが，実際には，実数などの連続的対象を取り扱う計算理論も大きく発展しています． 私は，特に（関数空間などのような）無限次元空間における計算理論に主に関心を持っています．最近は非ハウスドルフ空間や第二可算公理を満たさないようなワイルドな位相空間上の計算理論の探求にも興味を持ちつつあります． このような位相的・連続的な計算論を用いて，解析学や記述集合論の分析を行っています．
• 計算論的ランダム性の理論（アルゴリズム情報理論）
  「確率」や「ランダム」とは何かを理解するための計算論的な探求を行っています．予測（マルチンゲール），情報圧縮（コルモゴロフ複雑性），幾何学的測度論（フラクタル次元）という3つのパラダイムが主要な研究対象です．ランダム性の理論と集合論における基数不変量の理論との関連性にも興味を持っています．また，ランダム性をより抽象的にモデル論的に解釈し，強制法の理論と関連付けた研究も行っています．
• 実現可能性トポス理論
  トポスとは，代数幾何学においてグロタンディークらによって導入されたものですが，数理論理学／数学基礎論においては，トポスはある種の数学的宇宙として用いられます． 1970年代末，マーティン・ハイランドは「計算可能数学」の宇宙である実効トポスを発見しました． 私は特に，「計算可能数学」の宇宙と「集合論的数学」の宇宙の間の【中間的宇宙たちのなす構造】の分析に興味を持っています． グロタンディーク・トポスは，圏上のグロタンディーク位相によって表示されますが，その特性射を見れば，ローヴェア-ティアニー位相(LT-位相)という概念に対応します． 一般のトポスでもLT-位相は常に層トポスを伴い，実効トポス上のLT-位相の分析が中間的宇宙の分析に対応するため，実効トポス上のLT-位相（サブトポス）に関する様々な問題に解決を与えました．
• 計算的非可解性の次数の理論
  「コンピュータでは決して有限時間では計算できない」と数学的に証明されたものが無数にあります．数学の世界に有り触れた様々な計算不可能性を分類するために，計算可能程度の差を同一視したときに視える数学的世界に興味を持っています．これがチューリング次数や枚挙次数の理論です．私は位相空間的手法を次数の理論に導入することで，特に枚挙次数の理論の大改革を行いました．また，最近は，無限次元トポロジー的観点から新種の強制法を導入し，次数の理論におけるその威力を探っています．
• 逆数学
  数学基礎論の一分野で，数学の定理を証明するのに必要最小限の公理を探る「逆数学」と呼ばれる分野の研究を行っています．最近は，ジョン・スティルウェルによって「逆数学における最も興味深い未解決問題」として提示されていた，領域不変性定理の逆数学の問題に解決を与えました．これに関連して，代数トポロジーの逆数学にも興味を持っています．
• 構成的逆数学・直観主義集合論
  与えられた数学の定理を証明するために必要な集合存在公理，選択公理，帰納法公理などのレベルを測定する，というのが古典的逆数学の主な研究内容ですが，ベースの体系を直観主義算術に変更することによって，定理を証明するのに必要な排中律や二重否定除去などのレベルを測定していくことにも関心があります．最近は，二階算術からは離れて，非構成的原理を分離する直観主義集合論(IZFなど)のモデルをいろいろと作っています．
• 記述集合論
  「定義可能性」の階層構造について，ボレル複雑性の観点から研究しています．特に，記述集合論における100年前のルジンの予想に端を発する，ボレル可測関数の分解問題，コンパクト距離空間の有限級ボレル同型の問題などに対して，従来とは完全に異なる新奇な手法を導入し，これらの問題を部分的解決に導いたものが主要業績です．また，位相複雑性の究極的解析として知られるワッジ次数の理論においても，従来とは全く異なる角度からアプローチし，理論を飛躍的に進展させることができました．
• 組合せ論・WQO理論
  計算機科学や数理論理学において重要な順序構造の理論である，整列擬順序(WQO)やベター擬順序(BQO)の理論に関心を持っています．これらの順序理論は，計算アルゴリズムの停止性などと深い関わりがあります．また，これに関連して，ラムゼー理論にも興味を持っています．
• 極限同定・帰納的推論の理論
  アルゴリズム学習理論の一分野で，データの列からそれを生成する規則の極限的な学習可能性を探る理論です．データストリーム上の写像の計算論的理解およびその構成的数学との関連性などから興味を持って研究しています．

▼ 参画中の研究プロジェクト

• 基盤C: 幾何様相に基づく構成的逆数学の新展開 (代表) (R4〜)
• 基盤B: 連続な空間上の計算とその複雑さの研究 (分担) (R5〜)
• 基盤B: 様相ミュー計算と確率ゲームへの逆数学的アプローチ：ハイブリッド検査法の創出と分析 (分担) (R3〜)

▼ 過去の研究プロジェクト

• 二国間交流事業 共同研究: 実効記述集合論，計算可能解析学およびオートマトン理論 (代表) (R2〜R4年度)
• 拠点形成A: 数理論理学とその応用の国際研究拠点形成 (H27〜R3年度)
• 基盤B: 証明可能性の相転移と逆数学の超臨界 (分担) (H29〜R1年度)
• 基盤C: 計算可能性理論，記述集合論，位相空間論における階層の究極的解析 (代表) (R1〜R4年度)
• スタート支援: 空間に付随する計算論的構造の不変量としての側面 (代表) (H29〜H30年度)
• 特別研究員奨励費: トポロジー，確率論，モデル理論および記述集合論における計算論的手法の研究 (代表) (H27〜H28年度)
• 特別研究員奨励費: 極限学習を用いた実効的閉集合の次数構造の解明 (代表) (H24〜H26年度)
• 特別研究員奨励費: ランダム性と学習の理論による実効的閉次数構造の解明 (代表) (H22〜H23年度)

▼ 2022年度の会議：

1. SAML 2022, Symposium on Advances in Mathematical Logic 2022, 京都大学数理解析研究所, June 21-24, 2022, 招待講演
2. CiE 2022, Computability in Europe: Revolutions and Revelations in Computability, Swansea, UK, July 11-15, 2022, 招待講演
3. WDCM 2022, Fourth Workshop on Digitalization and Computable Models, Novosibirsk and Kazan, Russia / online, October 24-29, 2022, 招待講演

▼ 2021年度の会議：

1. Oberwolfach Workshop, Computability Theory, Oberwolfach, Germany, 25 Apr-1 May 2021, 招待参加
2. ASL 2021, Association for Symbolic Logic 2021 North American Annual Meeting, University of Notre Dame, USA, June 22-25, 2021, 特別セッション運営委員
3. WDCM-2021, Third Workshop on Digitalization and Computable Models, Novosibirsk and Kazan, Russia, June 28 - July 2, 2021, 招待講演
4. MSJ2021, 2021年度 日本数学会 秋季総合分科会, 千葉大学 理学部, Sep 14-17, 2021, 特別講演
5. CCC2021, Continuity, Computability, Constructivity From Logic to Algorithms, Online, Sep 20-24, 2021
6. APM 2021 Algorithmic Presentations in Mathematics, Sirius Mathematics Center, Sochi, Russia, November 8-12, 2021, 招待講演
7. Dagstuhl Seminar, Descriptive Set Theory and Computable Topology, Schloss Dagstuhl, Germany, 11-19 Nov, 2021, チュートリアル講演
8. Luminy 2022 New directions in computability theory, March 7-11, 2022, Luminy, France, 招待参加
9. PLS13, The 13th Panhellenic Logic Symposium, Volos, Greece, 基調講演（延期）

▼ 2020年度の会議：

1. Dagstuhl Seminar, Descriptive Set Theory and Computable Topology, Schloss Dagstuhl, Germany, 13-17 April, 2020, 招待参加（延期）
2. Logic Workshop in Nanjing, Nanjing, China, 18-29 May, 2020, 招待参加（中止）
3. CiE 2020, Computability in Europe 2020: Beyond the Horizon of Computability, Salerno, Italy, June 29-July 3, 2020, 招待講演
4. Oberwolfach Workshop, Mathematical Logic: Proof Theory, Constructive Mathematics, Oberwolfach, Germany, 8-14 November 2020, 招待参加
5. JPRU 2021, Japan-Russia Workshop on Effective Descriptive Set Theoty, Computable Analysis and Automata, JAIST, Japan, March 17-19, 2021, 運営委員
6. MLA 2020, Fourth Workshop on Mathematical Logic and its Applications, Kanazawa, Japan, 22-24 March 2021

▼ 2019年度の会議：

1. Higher Recursion Theory and Set Theory, in celebration of the research work of Professors Theodore A. Slaman and W. Hugh Woodin, Institute for Mathematical Sciences, National University of Singapore, May, 招待参加
2. ALC 2019, The Sixteenth Asian Logic Conference, Nazarbayev University, Astana, Kazakhstan, 17-21 June 2019, 招待講演（全体講演）
3. NII Shonan Meeting, Higher-order Complexity Theory and its Applications, Shonan Village Center, Japan, 7-10 October, 2019, 招待参加
4. MLA 2020, Fourth Workshop on Mathematical Logic and its Applications, Kanazawa, Japan, 3-5 March 2020 （中止）
5. AKITA 2020, Proof and Computation Workshop in AKITA, Akita, Japan, 23-25 March 2020 （中止）

▼ 2018年度の会議：

1. ASL 2018, The 2018 North American Annual Meeting of the Association for Symbolic Logic, Macomb, Illinois, USA, 16-19 May 2018, 招待講演（セッション特別講演）
2. LC 2018, The Logic Colloquium 2018: the 2018 annual European Summer Meeting of the Association for Symbolic Logic, University of Udine, Italy, 23-28 July 2018, 招待講演（セッション特別講演）
3. Dagstuhl Seminar, Measuring the Complexity of Computational Content: From Combinatorial Problems to Analysis, Schloss Dagstuhl, Germany, 2-7 September 2018, 招待参加
4. SAML 2018, Symposium on Advances in Mathematical Logic 2018, Kobe, Japan, 18-20 September 2018.
5. CCR 2018, Thirteenth International Conference on Computability, Complexity and Randomness, Santiago, Chile, 17-21 December, 招待講演（全体講演）
6. CTFM 2019, The 9th International Conference on Computability Theory and Foundations of Mathematics, Wuhan, China, 21-27 March, 招待講演

▼ 2017年度の会議：

1. ALC 2017, The 15th Asian Logic Conference, Daejeon, Republic of Korea, 10-14 July 2017.
2. CCA 2017, Fourteenth International Conference on Computability and Complexity in Analysis, Daejeon, Republic of Korea, 24-27 July 2017, 招待講演（全体講演）
3. Aspects of Computation: in celebration of the research work of Professor Rod Downey, Institute for Mathematical Sciences, National University of Singapore, 28 Aug-8 Sep, 招待参加
4. CTFM 2017, Workshop on Computability Theory and the Foundations of Mathematics, Institute for Mathematical Sciences, National University of Singapore, 8-12 Sep, 招待参加
5. Oberwolfach Seminar, Mathematical Logic: Proof Theory, Constructive Mathematics, Oberwolfach, Germany, 5-11 November 2017, 招待参加
6. 2ndPPICTA, The 2nd Pan Pacific International Conference on Topology and Applications, Busan, Republic of Korea, 13-17 November 2017.
7. Oberwolfach Seminar, Computability Theory, Oberwolfach, Germany, 7-13 January 2018, 招待参加
8. MLA 2018, The Second Workshop on Mathematical Logic and its Applications, Kanazawa, Japan, 5-9 March 2018.
9. 手形 L4 研究集会, 秋田大学, 26-29 Mar 2018, 招待講演

▼ 過去の会議 (2016年度以前; 招待講演・招待参加のみ)：

1. Dagstuhl Seminar, Computability Theory, Schloss Dagstuhl, Germany, 19-24 Feb 2017, 招待参加
2. BIRS-CMO Workshop, Algorithmic Randomness Interacts with Analysis and Ergodic Theory, Oaxaca, Mexico, 4-9 Dec 2016, 招待参加
3. 2016 AMS Fall Central, The American Mathematical Society Fall Central Sectional Meeting, University of St. Thomas, Minneapolis, USA, 28-30 Oct 2016, 招待講演
4. WCT 2016, Workshop on Computability Theory 2016, Ghent, Belgium, 4-5 July, 2016, 招待講演
5. CIRM Seminar, Computability, Randomness and Applications, Luminy, Marseille, France, 20-24 June, 2016, 招待参加
6. SEALS 2016, South Eastern Logic Symposium 2016, University of Florida, USA, 27-28 Feb 2016, 招待講演
7. Dagstuhl Seminar, Well Quasi-Orders in Computer Science, Schloss Dagstuhl, Germany, 17-22 January 2016, 招待参加
8. New Challenges in Reverse Mathematics, Institute for Mathematical Sciences, National University of Singapore, 3-16 Jan 2016, 招待参加
9. DST in Paris 2015, Desctiptive Set Theory in Paris 2015, Institut de Mathematique de Jussieu, Paris, France, 7-8 Dec 2015, 招待参加
10. Dagstuhl Seminar, Measuring the Complexity of Computational Content: Weihrauch Reducibility and Reverse Analysis, Schloss Dagstuhl, Saarland, Germany, 20-25 September 2015, 招待参加
11. CCC 2015, Continuity, Computability, Constructivity – From Logic to Algorithms, Schloss Aspenstein, Kochel, Germany, 14-18 Sep 2015, 招待講演
12. JAIST Logic Workshop Series 2015, Constructivism and Computability, Shiinoki Cultural Complex, Kanazawa, Japan, 2-6 Mar 2015, 招待講演
13. Sets and Computations, Institute for Mathematical Sciences, National University of Singapore, 5-25 Apr 2015, 招待参加
14. DST in Paris 2014, Desctiptive Set Theory in Paris 2014, Institut de Mathematique de Jussieu, Paris, France, 8-9 Dec 2014, 招待参加
15. Shonan Meeting, Algorithmic Randomness and Complexity, Shonan Village Center, Kanagawa, Japan, 8-12 September 2014, 招待参加
16. ARA 2014, Analysis, Randomness and Applications, Shizuoka, Japan, 1-5 Sep 2014, 招待参加
17. CTFM 2014, Computability Theory and Foundations of Mathematics, Tokyo Institute of Technology, Tokyo, Japan, 17-20 Feb 2014, 全体講演
18. AJNZ 2013, Argentina-Japan-New Zealand workshop, and Retreat at Puka Beach; Tokerau beach, New Zealand, 24-30, Nov 2013, 招待参加
19. ALC 2013, The 13th Asian Logic Conference, Guangzhou, China, Sep 2013, 招待講演
20. CCA 2013, The 10th International Conference on Computability and Complexity in Analysis, LORIA, Nancy, France, 8-10 Jul 2013, 招待講演
21. Dagstuhl Seminar, Computing with Infinite Data: Topological and Logical Foundations, Schloss Dagstuhl, Saarland, Germany, 11-14 October 2011, 招待参加